우리 선조들의 수학 실력(해시계… 토지측량… 세금 계산…

우리 선조들의 놀라운 ‘수학 실력’ 알고 있나요?

우리가 쓰는 물건이나 제도 가운데는 오래전부터 만들어져 사용돼 온 것들이 많다. 이런 물건이나 제도는 전통에 포함된다. 전통은 과거와 현재와 미래를 잇는 하나의 다리와 같다. 과거로부터 이어오고 미래에도 전해지는 것이기 때문이다.

최근 세계 각국은 ‘전통과 현대의 조화’를 꾀하고 있다. 과거를 재조명하여 21세기의 국제화, 세계화 추세에 맞는 새로운 문화를 창조하려고 하는 것이다.

 

해시계… 토지측량… 세금 계산…

 

수학 공부를 할 때도 미래를 향해 나아가기 전에 옛것을 먼저 돌아보는 자세가 필요하다. 우리 조상들의 삶과 수학은 거리가 멀다고만 느낄 수도 있다. 그러나 전통 풍습 또는 문화재 속에 숨어있는 수학을 발견하게 된다면 이런 생각은 자연스레 사라지게 될 것이다.

오랜 역사 동안 우리 조상들이 발전시켜 온 수학은 여전히 우리 생활 곳곳에 녹아있다. 우리 선조들은 수학을 중시했고 여러 분야에 수학을 잘 활용해 왔다. 61세에 회갑잔치를 하는 이유는 무엇이며, 어떤 방법으로 토지 측량과 세금 계산을 했는지를 살펴보자. 조상들은 수학을 어떻게 활용했으며 현재의 수학과 어떤 연관성이 있는지를 확인해 보자.

또한, 우리나라의 훌륭한 문화재에는 어떤 수학적 요소가 있는지 찾아보고 공부해보는 기회도 가져보자. 이를 통해 선조들의 지혜에 감탄하고 수학에 한 걸음 더 다가가게 될 것이다.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표원장

올해 14세 정원이의 회갑잔치가 열리는 해는 언제?

문제【1】

조선시대 세종 때는 세금을 공평하게 걷기 위해 땅이 얼마나 비옥한지 평가해서 그에 따라 차등을 두어 세금을 거둬들이는 ‘전분 6등법’을 시행했습니다. 이 제도는 토지의 단위를 단순히 넓이로 나타내는 것이 아니라 일정한 양의 곡식을 생산하는 땅의 넓이로 정했습니다. 즉, 곡식 1줌을 생산하는 땅의 넓이를 ‘1파’라 하고 10000줌을 생산하는 땅의 넓이를 ‘1결’이라 했습니다.

어느 마을에 있는 김씨와 이씨의 밭은 다음 그림과 같았습니다. 김씨의 땅은 비옥한 땅이라 1m²당 1줌의 곡식이 생산되지만 이씨의 땅은 척박하여 3m²당 1줌의 곡식이 생산됩니다. 두 사람의 토지는 각각 몇 결입니까?(단, 원주율은 3으로 계산합니다.)

 

■ 선생님의 도움

①계획하기

각각의 땅의 넓이를 구합니다.

(김씨의 땅의 넓이)=(150+250)×200÷2=40000(m²)

이씨의 땅의 반지름의 길이를 R, 연못의 반지름의 길이를 r이라 하면

2πR=1200, 2πr=600 ∴R=200(m), r=100(m)

(이씨의 땅의 넓이)=200²π-100²π=90000(m²)

② 실행하기

각각의 땅에서 생산되는 곡식의 양을 구합니다.

김씨의 땅은 1m²당 1줌의 곡식이 생산되므로 모두 40000줌의 곡식이 생산됩니다.

따라서 김씨의 땅은 4결입니다.

이씨의 땅은 3m²당 1줌의 곡식이 생산되므로 모두 30000줌의 곡식이 생산됩니다.

따라서 이씨의 땅은 3결입니다.

③ 반성하기

토지의 실제 넓이와 조선시대 단위인 결을 사용했을 때의 넓이 가 어떻게 다른지 생각해봅니다.

문제【2】

조선시대 초기의 세금제도로는 그해의 농사가 풍작인지 흉작인지에 따라 세금을 다르게 거두어들이는 ‘연분 9등법’이라는 세금제도가 있었습니다. 만약 어느 해의 농사가 잘되어 그해가 ‘상중년’으로 평가를 받았다면 1번 문제의 김씨와 이씨는 각각 몇 두의 세금을 내야 합니까?

또한, 조선시대 후기의 세금제도로는 ‘대동법’, ‘영정법’, ‘균역법’이 있어 이 시대 사람들은 세 가지 제도에 따르는 세금을 모두 부담해야 했습니다. 대동법은 특산물을 쌀로 통일하여 바치게 한 납세제도로 토지 1결당 미곡 12두를 부담해야 했습니다. 영정법은 풍흉에 관계없이 징수하던 것을 농지의 생산량에 따라 9등급으로 나누어 세금을 거둔 제도로 토지 1결당 미곡 4두를 부담해야 했습니다. 균역법은 균역의 부담을 줄이기 위해 만든 것으로 16∼60세의 남자는 1년에 군포 1필만 부담하고, 그로 인해 감소된 재정은 결작이라고 하여 땅을 소유한 사람에게 토지 1결당 미곡 2두를 부담시켰으며, 삼수병을 훈련시키기 위한 세금인 삼수미도 1결당 2.2두를 내도록 했습니다. 1번 문제의 김씨와 이씨의 가족 중 16∼60세 사이의 남자가 각각 1명씩이라면 각각 몇 두의 세금을 내야 합니까?

문제【3】

십간십이지는 ‘십간’인 갑, 을, 병, 정, 무, 기, 경, 신, 임, 계와 ‘십이지’인 자(쥐), 축(소), 인(호랑이), 묘(토끼), 진(용), 사(뱀), 오(말), 미(양), 신(원숭이), 유(닭), 술(개), 해(돼지)를 결합하여 만든 주기입니다.

십간과 십이지를 순서대로 짝지어서 올해 2008년은 무자년, 내년은 기축년, 후년은 경인년…과 같이 각각의 해의 이름을 십간과 십이지를 붙여 나타냅니다. 십간은 10년에 한 번, 십이지는 12년에 한 번씩 돌아오는데 10과 12의 최소공배수가 60이므로 십간십이지는 모두 60개의 조합이 생깁니다. 이렇게 생긴 60개의 조합을 간지라고 하며 같은 간지는 60년을 주기로 돌아오게 됩니다. 우리나라에서는 태어난 해와 같은 간지의 해가 돌아오면 이를 축하하기 위해 61세의 생일에 회갑잔치를 여는 풍습이 있습니다. 2008년 현재 14세인 정원이의 회갑잔치가 열리는 해는 언제이며 이 해의 간지는 무엇입니까?

문제【4】

우리나라는 가족 혹은 친척들 사이의 관계를 촌수라는 단위로 표시하여 가깝고 먼 정도를 수치로 나타내고 있습니다. 촌수는 기본적으로 부모와 자식 사이를 1마디로 정하고 같은 조상이 나타날 때까지의 마디 수를 합하여 촌수를 계산합니다.

촌수 계산법은 수학적으로도 정확하여 정원이는 다음과 같은 함수를 만들어 촌수 계산에 적용하였습니다.

● f(x)=(x의 부모) ● f²(x)=f(f(x),f³(x)=f(f(f(x)))),… ● fⁿ(A)=f^m(B)가 되도록 하는 최소의 n,m의 합을 두 사람 A,B의 촌수라고 한다. ● fⁿ(A)=B가 되는 경우는 직계이므로 모두 1촌으로 한다.

예를 들어 정원이와 친동생은 부모가 같으므로 f¹(정원)= f¹(동생)입니다. 따라서 n=1,m=1이므로 1+1=2(촌)입니다. 정원이의 아버지의 부모와 정원이의 큰아버지의 부모가 같으므로 f²(정원)= f¹(큰아버지)입니다.

따라서 정원이와 큰아버지의 관계에서 n=2,m=1이므로 2+1=3(촌)입니다. 정원이는 이모의 손자인 창용이와의 촌수를 계산해 보려고 합니다. 두 사람의 관계를 fⁿ=f^m(창용)으로 나타내고 두 사람의 촌수를 구하세요.

문제【5】

앙부일구는 세종 16년(1434)에 장영실, 이천, 김조 등이 만든 해시계로 시계판이 가마솥같이 오목하고, 이 솥이 하늘을 우러르고 있다고 해서 이런 이름을 붙였다고 합니다. 내부에는 그림자를 만드는 영침이 있고 오목한 시계판에 세로선과 가로선이 있는데 세로선은 시각을 나타내고 가로선은 계절을 나타냅니다. 하지 때는 태양의 고도가 높아 그림자의 길이가 짧아지고, 동지 때는 태양의 고도가 낮아 그림자의 길이가 길어지므로 영침의 그림자의 끝이 가장 위의 선에 닿으면 동지이고, 가장 아래 선에 닿으면 하지입니다. 또한, 해가 동쪽에서 떠서 서쪽으로 지므로 하루 동안 그림자의 끝은 서쪽에서 점점 동쪽으로 이동합니다. 따라서 세로선을 통해 시각을 알 수 있는데 앙부일구는 글을 모르는 백성들을 위해 2시간 간격마다 십이지신 그림으로 그려서 시각을 나타냈습니다. 예를 들어, 토끼 그림을 가리킬 때가 아침 정각 6시를 나타내며 토끼 그림의 양 옆으로 작은 칸 4칸씩을 통틀어 묘시라고 합니다. 따라서 묘시는 아침 5시부터 7시까지를 말합니다. 하지만 앙부일구가 나타내는 시각과 우리가 사용하는 시각은 일치하지 않습니다. 우리나라의 서울은 동경 127°의 위치에 있지만 동경 135˚를 기준으로 하는 표준시를 사용하고 있기 때문입니다. 그렇기 때문에 서울을 기준으로 보았을 때, 현재 우리가 사용하는 시각보다 앙부일구가 나타내는 시각이 더 정확하다 할 수 있습니다. 앙부일구의 그림자가 다음과 같이 나타났을 때의 계절과 시간을 읽어보세요. 이때, 우리가 사용하는 표준시는 몇 시 몇 분일까요? (단, 동경 15˚의 차이는 한 시간의 차이가 납니다.)

[정답] 2. 조선 전기 : 72두, 54두, 조선 후기 : 80.8두, 60.6두3. 2055년, 을해년 4.f²(정원)=f³(창용), 5촌 5. 여름, 오후 1시, 표준시 오후 1시 32분