수학과 이론물리학의 상관성

수학과 이론물리학의 상관성

인류가 자연의 법칙을 보다 깊게 탐구하는 데서 수학과 이론물리학이 태동했다. 그 근거는 라이프니츠(Leibniz)와 뉴턴(Newton)의 미분적분학의 발견, 아인슈타인(Einstein)의 일반상대성이론 과 리만기하학(Riemann Geometry), 디랙(Dirac)의 장이론(Field Theory)과 스핀기하학(Spin Geometry), 맥스웰(Maxwell)의 전자기방정식과 드람(de Rham) 코호몰로지이론, 양밀즈 (Yang-Mills)의 게이지이론과 도넬슨(Donald son)의 사차원 다양체의 응용, 끈이론(String Theory)과 리만곡면론, 사이버그-위튼 이론(Seiberg-Witten Theory), 그로모브-위튼(Gromov- Witten) 이론에 따른 퀀텀 코호몰로지(Quantum Cohomology), 카오스이론(Caos Theory), 거울 대칭성이론(Mirror Symmetry Theory), 블랙홀이론(Black Hole Theory), 양자장이론 (Quantum Field Theory) 등에서 찾아볼 수 있다.

수학과 이론물리학은 같은 뿌리에서 출발했지만 학문의 성격상 추구하는 본질은 각기 다르다 고 할 수 있다. 수학자는 대상을 수학적 엄밀성에 입각하여 수학적 구조를 밝히고 이론을 정립 해 나가는 반면에, 이론물리학자는 대상의 물리적 성질에서부터 물리학적 이론을 정립해 나간다. 두 학문이 각기 발전해 나가고 분화되어감에 따라, 수학자와 이론물리학자 사이에 학문적 연구방 법이 다르고, 사용하는 언어가 달라졌으며, 또한 관심사에도 차이가 생김에 따라 서로간의 의사소 통이 여간 어렵지 않게 되었다.

그럼에도 불구하고 위에서 열거한 근거의 예로부터 알 수 있듯이 최근 들어 더 많은 이론물 리학자들이 자연에 대한 수학적 모델을 찾고 있어서 수학자들로서는 새로운 영역으로 대상을 넓 힐 수 있고, 기존의 난제들을 새롭게 다른 각도에서 보고 이용할 수 있게 되었다. 이론물리학자 들도 잘 개발된 고등수학을 자연현상을 구조화하고 유추하는 데 이용할 수 있게 되었다. 예를 들면, 물리학자들이 모듀라이 공간의 매개변수(parameter) 개수를 찾는데 빠뜨린 것을 지표이론으 로 완성할 수 있었고, 수학자들도 도넬슨(Donaldson) 정리를 위시하여 수많은 어려운 문제들을 이론물리학의 이론을 이용하여 해결할 수 있었다. 이렇듯 수학과 이론물리학과의 학문적 밀접성 은 무한한 상부상조의 가능성을 내포하고 있으며, 선진국들은 이를 익히 알고 이미 학문적으로 이용하고 있음을 위의 열거한 근거들로부터 알 수 있다. 연구소의 활동을 예로 보더라도 미국 의 프린스톤에 있는 고등연구소(Advanced Institute), 영국의 캠브리지에 있는 뉴턴연구소와 옥스퍼드의 수학연구소, 러시아의 스테크로브(Steklov) 수학연구소에서는 수학자와 이론물리학자 들이 같은 연구소에서 연구활동을 하고 있으며, 가까이 있는 일본 교토대학(Kyoto Univ.)도 수 학자들이 이론물리학 세미나에 참석한다.

우리나라의 현재까지 상황은 수학자들과 이론물리학자들이 선진국에서 각자 자기 학문을 배워 오는 데 집중하여, 점차적으로 학문이 정착되어 가고 있는 단계이다.
우리도 선진국과 같이 차츰차츰 수학자와 이론물리학자가 서로 깊은 관심을 갖고, 타 분야의 연 구에 도움도 주며 공동관심사에 대해서는 공동연구를 적극적으로 추진해 나간다면 우리의 학문도 크게 발전하고, 선진국들과도 어깨를 겨룰 수 있으리라 믿는다.

본 논단에서는 전혀 예기치 못했던 수학과 이론물리학의 만남이 이루어낸 위대한 쾌거들 중의 일부를 소개하고자 한다. 대표적으로 맥스웰의 장방정식과 드람 코호몰로지방정식의 만남, 양 (Yang)의 비가환(non-commutative) 게이지이론을 이용한 도넬슨의 사차원 다양체 연구, 양밀 즈 게이지이론을 크게 간소화한 사이버그-위튼(Seiberg-Witten)의 게이지이론, 타우브스 (Taubes)의 사이버그-위튼 불변량과 그로모브-위튼(Gromov-Witten)의 불변량의 동일함의 정리, 그로모브-위튼 불변량으로부터의 퀀텀 코호몰로지 유도와 그의 대수기하에의 응용, 퀀텀 코호몰 로지로부터 거울대칭성과 대수기하문제, 이상의 것들을 포괄하는 양자장이론을 간략히 소개하 고자 한다.

1. 게이지이론(Gauge Theory)의 등장

자연의 기본법칙을 기술하는데 벡터다발, 접속, 곡률이 중요한 역할을 한다. 19세기 중엽에 맥 스웰(Maxwell)은 전자기의 법칙을 발견했으며 이때 전기와 자기는 서로 다른 요소로 간주되 었다. 20세기 초에 로렌츠(Lorentz)는 만일 시공간 R^{3,1}≡R^3 ×R^1에 슈도-리만자 (Pseudo- Riemann Metric)를 주면, 전기와 자기는 R^{3,1} 상의 2-형식 ω의 성분으로 결합할 수 있다고 했으며, 이때 ω를 전자기장(electromagnetic field)이라 하며, 맥스웰의 방정식은 dω =0, δω=0으로 간략히 나타내진다. 이것이 수학에서는 타원 드람작용소이다. 이 방정식은 R^{3,1}의 선형등장사상들의 로렌츠군작용에 의하여 불변이다. 금세기 초에도 아인슈타인 (Einstein)은 사진전기효과를 관찰하면서 생기는 현상을 설명하면서 입자가 전자기의 상호작용에 관련한다고 했다. 이런 파동과 입자사이의 쌍대성이 양자역학을 발전시키게 했으며, 양자전기동 력역학 발전에 크게 기여했다.

같은 시기에 새로운 두 상호작용이 발견되었다: 핵의 응집을 나타내는 강핵상호작용과 페르미 (Fermi)의 β-방사선을 설명하기 위한 약상호작용이 그것이다. 4개의 기본상호작용(강, 약, 전자 기, 중력)에는 서로 다른 세기, 영역, 대칭군이 존재한다. 영역과 자연현상으로 볼 때 강, 약 상 호작용은 양자역학의 모델이 되어야 하나, 양전자동력 역학적인 측면에서 보면 고전역학의 모델 이 된다. 이것을 양과 밀즈(Yang and Mills)가 1954년에 주장하였고, 그후 약 25년 동안 지속되 다가 결국 물리학적으로 타당함이 증명되었다. 양과 밀즈이론의 주요특성은 무한차원의 군작용 에 의하여 물리가 불변한다는 점이다. 이것이 다름 아닌 게이지변환군이다. 이를 수학적으로 고찰 하여 보자. 그 형식 ω를 전자기장이라 하자. dω=0이므로, R^4에 전자기 포텐셜이라 부르는 1형 식 α가 있어 ω=dα가 된다. 또한 α는 α=df로 대치할 수 있다. 여기서 f는 R^4상의 실함 수이다. 이때 df는 게이지변형(gaugetransformation)에 의해 생긴다. 고전역학에서 강상호작용을 양-밀즈가 기술할 때는 상호작용의 라그랑지안은 비가환군 SU(2)의 리대수 su(2)에서 값을 갖은 포텐셜을 포함해야 한다고 했다. 또 이 게이지변형이 다발의 퀀텀수를 정한다. 여기서 게이지이론 (gauge theory)이 태동되었다. 양밀즈이론에서 su(2)에서 값을 갖는 1형식 α가 접속(connection) 같은 역할을 하고 게이지변환 g:R^{3,1}→SU(2)은 포텐셜 α에 작용하여

g(α) = gα g^-1+gdg^-1
접합 α의 곡률은 Ω = dα+1/2 [α,α]이다. 이때 접속은 R^{3,1} 상의 자명한 주 SU(2) 다발의 접속이며 게이지변형은 자명화(trivialization)에 대한 변형을 의미한다.
맥스웰의 전자기이론은 R^{3,1}상의 U(1)-다발에 대한 이론이며 게이지변형은 g:R^4→U(1) 이고, 포텐셜은 iα∈iR^i이며, 접속에 게이지변형은 g(α) = α+df, 여기서 g(x) = exp(-i f(x)) 이며, 해곡률은 omega = d alpha이다. 또한 에너지 L=1/2 int ||W||^2을 최소로 하는 조건이 바로 delta omega=0이 된다. 따라서 우리는 맥스웰의 방정식 d omega = 0, delta omega = 0을 얻는다. 위상적으로 R^{3,1}이 아닌 공간상의 주 다발이 자명할까 하는 의문에서 1930년 디랙 (Dirac)은 2차원 구면의 장의 적분이 영이 아닌 정수를 갖음을 알아냈다. 따라서 이 U(1) 다발은 자명하지 않음은 명백하다.

2. 도넬슨(Donaldson)의 게이지이론 응용

게이지이론이 수학세계에서 활발히 연구가 시작된 것은 1982년 도넬슨이 사차원 다양체의 미 분구조를 연구하기 위하여 게이지이론을 사용한 이후부터이다. 그는 게이지이론을 이용하여 사차원 다양체가 미분구조를 갖으면 교차형식이 대각화 되어야 함을 증명하였다. 그 결과 많은 대각 화 되지 않은 교차형식을 갖은 사차원 다양체는 미분구조가 없음이 증명되었고 특히, 위상적 R^4 내에 무수히 많은 다른 미분구조가 존재함이 증명되어 세상을 놀라게 했다. n≠4인 R^n은 모두 하나의 미분구조를 갖는다. 이 업적으로 도넬슨은 1986년에 필즈(Fields) 메달을 받았다.

다음은 게이지이론을 간단히 소개하고 주요 결과를 열거하려 한다. M이 옹골찬 유향 (oriented) 4차원 미분다양체라 하자. n≠4을 순간지수가 k인 SU(2) 벡터 다발이라고 하자. 다발 E 상에는 무한차원의 접속 ∇가 있다. 실제로 모든 접속들의 집합은 아핀(affine)공간 OMEGA^{1}(g_E)를 이룬다. 이들 중 양-밀즈 작용 YM(∇) = INT_{x} ||F_∇||^2 이 최소인 접 속 ∇ (즉, ∇의 곡률 F_∇가 *F_∇ = -F_∇을 만족하는)를 순간자라고 한다. 이 때, 양-밀즈 작용과 순간자는 컨포멀(conformal) 구조에만 의존한다. 다발자기동형(automorphism)인 게이지 변환에 의한 순간자들을 동일시하는 집합을 우리는 모듈라이 공간 M 이라고 한다. 우리의 주요 관심사는 이 모듈라이 공간 M의 기하학적 성질을 연구하는 것이고, 이것으로부터 본래 4차원 다 양체 M의 기하학적 성질을 조사함이 주요 목적이다. 아티야, 히친, 그리고 싱어가 처음 이용한 기본복체(fundamental elliptic complex)

0 → OMEGA^0 (G_E) → OMEGA^1 (G_E) → OMEGA_+^2 (G_E) → 0
가 존재한다. 여기서 G_E는 E로부터 얻어진 리-대수(Lie algebra) 다발이고, ∇은 반자기쌍대 접속(anti-self-dual connection)이다. 그들은 이 복체를 디랙 연산자(operator)를 이용하여 지표 를 구했다: 기본 복체의 지표는 -8k+3(1- b_1 + b_2^+ )이다. 여기서 b는 베티 수(Betti Number)이다.
야티야(Atiyah), 싱어(Singer), 히친(Hitchin)은 자기쌍대 4차원 다양체일 때 순간자가 존재함을 밝히고 S^4상에 k=1인 다발의 순간자의 모듈라이 공간은 5차원 단위 디스크 B^5임을 보였다. 타 우브스(Taubes)는 교차수가 양인 4차원 다양체상에서 순간자가 존재함을 어려운 해석학을 사용 하여 밝히고 후에는 k가 크면 일반 다양체상에서 순간자가 존재함을 보였다. 울런벡(Uhlenbeck) 은 모듈라이 공간의 경계에서 일어나는 현상을 해석학적으로 잘 설명하여 기하학적 성질을 밝혔 다. 또한 그녀는 M상의 일반계량(generic metric)하에서 M이 다양체임을 보였다. 이러한 일련의 결과를 이용하여 도넬슨은 모듈라이 공간의 기하학적 구조를 연구함으로써 수학사에 남을 정리 를 얻었다.

M이 옹골찬인 4차원 미분다양체이고 그의 기본군이 영이고 교차형식(intersection form)이 양이 면, 그의 교차형식은 정수상에서 대각선 행렬(diagonal matrix)이다.

이 정리가 발표된 후 많은 수학자들이 게이지이론을 연구하고 많은 결과가 나왔다. 예를 들면 핀터셸(Fintushel)과 슈테른(Stern)은 호몰로지(homology) 3차원 구들의 코보디즘군(cobordism group)이 무한임을 증명하였다. 쿠가(Kuga)는 S^{2}×S^{2}상에 2차원 구로서 나타낼 수 있는 호몰로지 원소를 찾았다. 도넬슨은 위의 정리를 발견한 후 4차원 다양체의 호몰로지와 모듈라이 공간을 이용하여 도넬슨의 불변요소(invariant)를 구성했다. 그러나 도넬슨의 불변요소를 계산하 기는 매우 어렵다. 계산하기 쉽고 도넬슨이론을 포함한 사이버그-위튼(Seiberg-Witten) 이론을 지금은 활발히 연구하고 있다.

3. 사이버그-위튼(Seiberg-Witten) 게이지이론

1980년대초에 도넬슨의 업적으로 사차원 미분다양체 연구에 있어서 주다발에 대한 접속과 게 이지불변량이 주된 역할을 하게 되었다. 도넬슨은 비가환 게이지군에 대한 비자기접속의 모듈라 이 공간에 대한 연구를 했는데 그후 약 5년 동안 미분사차원다양체, 특히 대수곡면에 대한 도넬 슨의 다항식 불변량 계산이 주된 연구영역이었다. 연구결과로는 타원곡면의 미분동형분류 같은 많은 위상적 성질을 유도하였다. 하지만 도넬슨의 불변량을 계산하는 데는 많은 기술적 어려움이 있었고, 때로는 계산이 불가능하다고까지 생각되었다. 1994년 가을에 양자장이론이 동기가 되어 서 사이버그와 위튼은 다른 게이지이론적 불변량을 소개하였다. 그리고 그들은 이것이 도넬슨의 불변량과 밀접한 관계가 있다고 발표하였다. 사실 그들은 케러다양체에서 도넬슨의 불변량과의 관계를 주는 정확한 공식을 주었다. 수학적으로는 사이버그-위튼이 주장하는 도넬슨의 불변량과 의 관계가 아직 증명되지 않았다. 그렇지만 모든 예에서 계산된 결과는 그들의 주장이 참 이였 다. 관계는 접어두고, 사이버그-위튼 불변량은 계산이 훨씬 용이하고, 도넬슨의 불변량에 못지 않 게 수학적으로 중요한 결과들을 유도하고 있다. 사이버그-위튼 불변량과 그 결과를 간단히 소개 하면 다음과 같다.

도넬슨이론은 비가환 게이지군 SU(2)에 관한 것인 반면에 사이버그-위튼 이론은 가환군 U(1) 게이지를 갖는 두다발에 대한 연구임으로 계산이 훨씬 용이하면서, 도넬슨 불변량 보다 더 많은 내용을 포함한다. 위튼은 케러다양체에서 사이버그-위튼 불변량도 도넬슨의 불변량과 같은 성질 을 갖음을 보였다. 타우브스(Taubes)는 [11]에서 위튼의 결과를 심프렉틱 다양체에 확장하였으 며, 특히 케노니컬(canonical) 복소일차원 다발에 대한 사이버그-위튼 불변량이 일임을 증명하였 다. 그후 크론하이머(Kronheimer)와 므로카(Mrowka)는 [9]에서 탐(Thom)의 가설이라고 하는 사 영복소평면에서 대수곡선이 그의 호몰로지류에서 가장 작은 지네스를 갖음을 증명하였다.

그 후 타우브스는 [12]에서 심프렉틱 사차원 다양체에서 스핀시(Spin C)구조에 대한 사이버 그-위튼 불변량과 그에 대한 그로모브 불변량이 같음을 증명하여 심프렉틱 다양체 연구에 지대 한 공헌을 하였다. 필자도 심프렉틱이 아닌 사차원 다양체에서 사이버그-위튼 불변량이 영이 아 닌 예를 구했으며, 유한군을 작용하여 변환군 측면에서 사이버그-위튼 불변량 연구를 [4]에서 하 였다. 사이버그-위튼 불변량은, 프로에의 호몰리와 관계, 매듭 이론과의 관계, 토존과의 관계, 게 슨불변량과 관계 등과 같이 타 분야와 많은 관계가 있음이 밝혀졌고, 계속 활발히 연구가 진행 되고 있는 분야이다.

4. 퀀텀 코호몰로지(Quantum Cohomology) 이론

1991년경에 코호몰로지는 심프렉틱 다양체에서 그로모브-위튼 불변량 (Gromov-Witten invariant)의 등장과 더불어 다양체의 코호몰로지 컴프러덕트 일반화인 퀀텀곱의 정의로서 이룩된다. 퀀텀 코호몰로지는 수학의 여러 분야 즉, 심프렉틱 위상수학, 대수기하학, 끈 이론, 적분계이론, 게이지이론 등과 더불어 최근에 집중적으로 연구되고 있는 분야이다. 엄밀히 말하면 퀀텀 코호몰로지는 심프렉틱 다양체내의 심프렉틱 부분다양체에 관한 연구 즉 코시-리만 (Cauchy-Riemann) 방정식의 해에 관한 연구로서 좀 더 자세히 설명하면 다음과 같다.

퀀텀 코호몰로지의 기원은 1984년의 그로모브의 심프렉틱 다양체에서 복소곡선의 이론에서부터 시작되었다. X를 2n차원 미분다양체라 하고 omega를 닫힌 2형식으로 omega^n이 부피형식 (volume form)을 나타내고 접벡터 v(≠0)에 대하여 omega(v, jv)>0이라 하자, 이때 omega를 X의 심프렉틱형식이라 하고 복소구조 J는 omega에 의하여 길들여진 것이라 한다. 리만곡면에 서 X로 가는 함수 f가 X의 2차원 호몰로지 원소를 나타낼 때, 비선형타원 편미분방정식인 코시 리만방정식(Cauchy-Riemann equation)의 해들은 모듀라이 공간(moduli space)을 이루며 심 프렉틱 다양체 (X,omega)의 위상불변량을 정의한다. 이 위상불변량이 그로모브-위튼 불변량이 다.

코호몰로지류의 퀀텀곱은 코호몰로지에서 계수를 갖는 포말한 급수전개이다. 이 계수인 코호몰로 지류는 포앙카레 듀알리티와 그로모브-위튼 불변량에 의하여 정의된다(자세한 것은 [14]를 참 조). 위와 같이 위상수학적으로 그로모브-위튼 불변량을 정의할 수 있지만, 복소곡선은 움직여서 버블이 생길 수 있어 모듀라이 공간이 복잡해지므로, 그로모브의 컴펙트화를 사용해야 한다. 대 부분의 예들이 케러다양체이므로 대수기하에서 사용하는 컴펙트화를 사용한다. 이 대수기하적 방 법은 콘세비치(Kontsevich)가 정의한 안정적인 복소곡선들의 모듀라이 공간을 사용하여 불변량을 정의하는 방법이다. 콘세비치와 메닌(Kontsevich and Manin)은 안정적 복소곡선들의 모듀라이 공간을 사용하여 퀀텀 코호몰로지류를 공리(axiom)로 정의하였고, 이는 수론적 대수기하학분야 에 새로운 장을 열었다. 호몰로지류에서 대수곡선 수를 세려는 대수기하학자들이 이 분야에서 활발히 연구하고 있다. 위의 이론은 포지티비티(Positivity) 조건 하에서 전개되었는데, 최근에 리 (Li)와 티안(Tian)이 세미포지티비티(semi- positivity) 조건하에 정의하였으며, 사이버트(Seibert) 는 위의 두 정의 즉 위상적인 정의와 대수기하적인 정의가 같은 그로모브-위튼 불변량임을 증 명하였다. 퀀텀 코호몰로지는 대수구조를 갖는데, 퀀텀곱은 결합법칙을 만족한다. 이 결합법칙 은 WDVV방정식이라 하는 포텐셜(potential) 함수에 대한 편미분 방정식계를 이룬다. 두브로빈은 퀀텀곱으로부터 두브로빈(Dubrovin) 접속을 정의하고, 퀀텀곱의 교환법칙(associativity)으로부터 토존(torson)이 영이고, 결합법칙으로부터 곡률이 영임을 보여 소위 프로베니우스(Frobenius) 다 양체임을 증명하였다. 퀀텀 코호몰로지로부터 정의된 프로베니우스 구조 (장 이론 혹은 A-모델) 와 대수기하적으로 정의된 (즉, unfoldings, 란다우-긴즈버그(Landau-Ginzburg), B-모델) 프로 베니우스 구조 사이에 대응관계가 있다는 것이 유명한 거울대칭가설(mirror symmetry conjecture)이다.

5. 거울대칭성(Mirror Symmetry) 이론

끈이론(string theory)은 중력의 양자이론에(유일하게 알려진) 잘 부합된 이론이다. 끈이론은 확 장된 개념으로 1차원 다양체의 양자의 성질을 연구한 것으로 생각할 수 있다. 또한, 2차원 리만 곡면에서 시공(space time) 리만다양체 M으로 가는 함수로 생각할 수 있으며, 리만곡면을 시간 으로 자르면 끈이 생길 것이다. 끈이론에서는 이런 모든 함수의 에너지를 음의 지수함수로 하여 합을 구하는 공식을 만들어 연구한다. 이와 같은 방법이 물리학에서 항상 사용하는 퀀텀이론이다. 끈이론의 가장 특이한 성질중 하나가 한 다양체에 움직이는 끈은 다른 다양상에 움직이는 끈과 동일시 할 수 있다는 점이다. 이와 같이 행하는 다양체 쌍 M_1과 M_2를 거울(mirror) 쌍이라 한다. 다양체 M_1과 M_2가 서로 다른 리만다양체일 때 재미있는 쌍대성(duality)이 생긴 다.

이 경우에 M_1과 M_2가 위상적으로 같기도 하지만, 위상적으로 다를 수도 있다. 이런 경우에 끈이론에서는 두 다양체의 동등함을 리만곡면에서 가는 모든 함수의 상관(correlation) 함수로 정 의한다. 다시 말하면 개개의 함수의 계산이 아니라 퀀텀이론에서 두 계산의 관계가 지어진다.

주어진 리만곡면 SIGMA의 지너스에 따라 퀀텀상관함수에 중요하게 작용하는 요소는 다양체 M의 부피 V(M)이다.

거울대칭의 가장 간단한 예로: M_1를 둘레가 L인 원이고, M_2는 둘레가 1/L인 원으로 생각할 수 있다. 증명은 다른 곳에 되어 있다. 이것은 입자이론에서는 불합리하다: 둘레가 L인 원 위에 입자를 생각하자. 이때 모멘툼 상태는 psi_{n}(x) = exp(2 pi i n x/L)이고 모멘타의 스펙트럼 은 n/L이다. 반면에 둘레가 1/L인 원의 모멘타의 스펙트럼은 nL이다. 따라서 두 이론의 에너지 스펙트럼은 일치하지 않는다. 그러나 원 주위를 끈으로 감는 상태를 생각해보자. 둘레가 L인 원 을 끈으로 m번 감으면, 에너지는 mL이다. 이제 모멘툼의 모든 스펙트럼과 감긴 상태는 L→ 1/L 인 대칭성이 있다. 여기서 모멘툼 상태와 감긴 상태가 서로 바뀐다.

이와 같은 쌍대의 개념은 수학에도 있다. 원위의 U(1)다발을 생각하자. 다발을 결정하는 것은 원 주위의 U(1) 호로노미에 의해서 결정되고, 이것은 쌍대원의 점을 선택함으로서 결정된다.

다음은 기저공간 B상에 파이버가 호라이 T^d인 다발 M_1을 생각하자. M_2는 파이버가 거울대 칭토러스(즉, 각 원의 둘레길이가 역수)인 다발다양체라 하자. 이때 M_1과 M_2는 거울대칭일 것이다. 다음은 문제를 간략히 하기 위하여 기저공간 B가 d차원 다양체이고 토탈공간이 카라비- 야우(Calabi-Yau:복소 d-차원 케터다양체이고 복소 d형식의 다발이 자명) d-차원 공간이고 파이 버 T^d는 라그랑지안 부분다양체라 하자. 다음은 칼라비-야우에서 T^d가 퇴화하여 T^k로 기저 다양체 B의 d-k 차원 부분다양체에서 일어나면, B상의 자를 적절히 조절하여 T^d가 T^k로 퇴 화됨을 T^d에서 T^{d-k} 축소하여 쌍대로 남아있게 함으로서, 반지름 2/T을 크고 작게함으로 서 거울대칭다양체를 얻을 수 있다.

다시 기저공간 B=S^1라 하고, 전공간은 자명한 S^1다발이며 프 ゼ메트릭(flatmetric)을 가 졌다 하자. r_f와 r_b를 파이버와 기저공간의 반경이라 하자. 토러스의 복소구조는 c=r_0/r_f에 의하여 정해지며, 그의 케러류의 크기는 k = r_b r_f에 의하여 진다. 파이버 S^1의 거울대칭은 다 시 토러스를 이룬다. 그러나 r_f는 1/r_f이나 r_b는 r_b이므로 복소구조와 케러류(K hler class)의 크기는 서로 바뀐다. 이와 같은 현상은 칼라비-야우 다양체상의 거울대칭에 따른 일반적인 특성 이다. 복소 d차원의 칼라비-야우 다양체에서 복소모듀라이수는 h^{1,d-1}에 의하여 결정된다. 따 라서 만일 M_1과 M_2가 칼라비-야우 다양체의 거울대칭이며,h^{1,1}(M_1) = h^{1,h-1}(M_2)이고 h^{1,d-1}(M_1) = h^{1,1}(M_2) 가 된다.

사실은 h^{p,q}(M_1)=h^{p,d-q}(M_2)가 모든 p,q에 대하여 성립한다. 더욱이 퀀텀을 조정하는 매 개변수는 칼라비-야우의 켈러류이고, 켈러류는 거울대칭에 의하여 거울대칭된 다양체의 복소구 조를 변형한다. 따라서 다양체의 퀀텀변형문제는 거울대칭다양체의 복소구조 변형에 관한 문제 가 된다. 이런 퀀텀변형(quantum conection)은 리만곡면에서 3차원 복소다양체로 가는 복소곡선 을 세는 문제가 되고, 퀀텀 교차수이론이 된다. 칼라비-야우 다양체에서 복소곡선의 수를 세는 것은 매우 어렵다. 이를 거울대칭을 하여 복소구조를 변형하여 하지(Hodge)구조, 즉 H^{p,d-p}를 연구하고자 함이 수학에서 거울대칭(mirror symmetry)의 주된 목적이다.

이글은 대한수학회 뉴스레터 제 64 호 1999년 3월 2-9쪽에 실린이고 이화여대 조용승 교수가 쓴글입니다