차원의 의미

우리가 살고 있는 세계는 '3차원의 공간'이다. 전후, 좌우, 상하의 3방향으로 뻗은 세계이기 때문이다. 그렇다면 좌우로만 뻗은 세계는 '1차원의 공간', 좌우, 앞뒤의 두 방향으로 뻗은 세계를 '2차원의 공간'이라고 부르는 것은 당연한 일이다. 공간이 3개의 차원을 갖는 이유를 다음과 같이 설명하고 있다. "선은 폭을 가지고 있지 않기 때문에 면으로 옮겨질 수 있다. 그러나 입체는 완전하기 때문에, 길이, 폭, 깊이의 3개의 차원을 넘어서 다른 차원으로 옮길 수 없다. 따라서 공간은 3개의 차원을 가질 뿐이다." 차원이란, 본래 '자유도(自由度)', 즉, 자유로이 움직일 수 있는 방향의 개수를 의미한다.

직선 위에서는 앞뒤로만 움직일 수 있을 뿐이므로 1개의 변수(좌표)로 나타낼 수 있다. 이것을 '1차원'이라고 부르자. 아무리 구부러진 곡선일지라도 그 위에서는 앞뒤로만 움직일 수 있으므로 즉, 자유도가 1이므로 1차원이다. 이에 대해서, 평면상의 점은 1개의 변수로는 나타낼 수 없다. 평면상에서는 전후 뿐만 아니라, 좌우로도 움직일 수 있기 때문이다. 여기서는 점의 위치를 나타내는 데는 2개의 변수가 필요하다. 즉, 자유도가 2이므로, '2차원'이다. 예를 들면, 지구의 표면 위의 위치는 위도와 경도로 나타낼 수 있다. 공간에서는 전후, 좌우 이외에 상하의 운동도 가능하다. 따라서 그 위치를 나타내려면 공간 좌표라고 불리어지는 3개의 변수가 필요해진다. 이처럼 3개의 자유도를 갖는 공간은 당연히 3차원이어야 한다. 3차원 공간에 또 하나의 자유도를 더해주면 4차원의 공간이 된다.

새로운 자유도로서 시간을 가정한다면, 이 4차원의 세계에서는 시간을 자유자재로 조절할 수 있으므로, '타임머신'을 타고 원하는 대로 과거와 미래를 넘나들 수 있게 된다. 만일, 어떤 죄수가 사형을 선고받는다 하여도, 감옥이 미처 세워지기 전의 시간으로 돌아가면, 거뜬히 탈옥할 수 있다. 그러니 지금과는 딴판인 뒤죽박죽의 세상이 될 것은 틀림이 없지만. 이것은 이미 이야기한 바 있는 2차원과 3차원의 관계와도 같다. 2차원의 세계에 사는 생물이 있다면, 이 생물은 평면에 그어진 일종의 원에 갇힌 처지이므로, 3차 원 생물의 손이나 발이 나타났다가 귀중한 생명이나 재산을 빼앗고 연기처럼 사라져 버린다면, 그야말로 날벼락을 맞는 격으로 전혀 손을 쓸 수 없는 불가사의한 재난으로 포기할 수밖에 없다.

우리 주변에서 이를 비유해보면 목장의 우리 속에 갇힌 소나 말은 2차원 동물의 예이고, 하늘을 나는 새나 땅 속을 파 들어 갈 수 있는 토끼 등은 3차원 동물인 셈이다. 그건 그렇고 평면상에서는 두 직선은 반드시 평행이 아니면 만나기 마련인데, 공간상에서는 평행도 아니고 그렇다고 만나지도 않는 '서로 꼬인' 관계라는 게 있었다. 이처럼 차원을 높이면 그만큼 도형의 종류도 많아지고, 여러 가지 흥미 있는 일들이 벌어지게 된다.

나는 3차원에 산다

평면나라에는 점, 선분, 세모, 네모, 오각형 등 많은 사람들이 어울려 살아가고 있다. 이들 중 점은 조금 모자란 편이라 면을 인식하지 못한다. 그래서 세모나 네모, 오각형 모두를 통틀어 점들의 무리로 생각한다 (1차원의 눈으로 바라본 2차원). 점은 종종 길을 가다 세모나 네모에 부딪쳐 상처를 입기도 한다.

어느 날 점돌이가 길을 가다 놀라운 광경을 목격했다. 어떤 점 하나가 갑자기 사라지더니 그 근방에 꼬마동그라미가 나타났다가 순간 어른동그라미로 변했다. 곧이어 할아버지 동그라미로 변신했다가 다시 어른 동그라미로, 꼬마 동그라미로 연이어 변하더니 점이 되는 게 아닌가. 너무 놀라 눈을 비벼 다시 보았더니 그 점은 온데간데없이 사라져버렸다. 점돌이는 마을사람들에게 그날 겪은 일을 알렸다 “우리 평면 세상에 놀라운 일이 벌어지고 있어요. UFO를 봤어요. 외계인이 나타났단 말이에요”.

마을사람들은 점돌이의 말을 무시하고 “쯧쯧, 좀 모자라더니 정신이 이상해졌군” 하며 수군댔다. 아무도 점돌이의 말을 믿어주지 않자 점돌이는 늘 손자처럼 돌봐주는 동그라미 할아버지를 찾아가 자기의 말을 믿어달라며 내일 그곳에 같이 가자고 부탁했다. 다음날 동그라미 할아버지는 점돌이가 목격했던 장면을 목격했고, 다른 마을에서도 같은 경험을 했다는 세모, 네모들이 나타나기 시작했다. 심지어 3차원의 세계를 다녀왔다는 사람들이 나타났다. 그곳에서 어떤 힘엔가 끌려 다니다 다시 돌아왔다는 것이었다.

세모들은 “드디어 우리를 만드신 신이 재림하시는 것이니 만반의 준비를 해야한다”고 주장했다. 평면나라 사람들은 세상의 종말이 온 것이라며 술렁였다. 세기말적 종말론에 대한 대안을 제시하기 위해 과학자들이 연구를 시작했다. 1차원에서 2차원을 보는 방법과 같은 방법으로 3차원을 알아내려는 시도를 시작한 것이다. 우리가 4차원의 세계를 궁금해하는 것처럼 말이다. 드디어 3차원이란 세계를 조금씩 알아내게 됐고 3차원을 파악하기 위해 이제까지는 상상도 하지 못했던 ‘높이’라는 새로운 개념이 필요하다는 사실을 알게 됐다.

여전히 많은 것들을 알아내진 못했지만 2차원의 평면나라에서 일어나는 신비한 일들이 3차원의 세상에서는 자연스러운 것이라는 것도 알게 됐다. 점돌이가 봤다는 것도 실은 ‘구’가 평면나라를 지나가며 벌어진 일이었던 것이다.

도전 4차원

X파일이나 컬트영화 등에서는 우리의 과학으로 설명불가능한 불가사의들을 얘기한다. 인간들은 끊임없이 4차원의 세계에 대해 의구심을 갖고 신비주의적 관점으로 바라본다. 인간의 상상력을 동원해 만들어낼 수 있는 것들 이상의 일들이 벌어지는 곳. 4차원의 세계는 어떤 곳일까. 우리는 4차원의 세계로 갈 수 있을까.

이런 궁금증들은 어쩌면 평면나라 사람들이 겪었던 일과 같을지도 모른다. 4차원의 일부로 4차원 공간 안에 존재해 있지만 단지 우리가 ‘4차원의 눈’으로 우리 자신을 인식하지 못하고 4차원 전체를 간파하지 못하는 것이다. 평면에는 무수히 많은 선들을 그을 수 있고 직선에는 무수히 많은 점들을 찍어낼 수 있는 것처럼 4차원의 세계가 존재한다면 우리가 살고 있는 공간은 무수히 많은 3차원의 세계 중 하나일 뿐이다.

0차원은 점, 1차원은 직선, 2차원은 평면을, 3차원은 입체를 나타낸다. 우리가 살고 있는 공간은 3차원에 해당한다. 흔히들 이 ‘공간’에 ‘시간’의 차원을 더해 4차원의 세상을 얘기하곤 한다.

▶ 3, 4차원 정입방체 정6면체와 정8입체를 뒤쪽을 잡아늘여 투사한 모습

3차원과 4차원과의 관계는 2차원과 3차원의 관계와 같을 것이다. 2차원에 높이의 개념을 추가해 3차원을 얻듯이 3차원에 제4의 개념을 추가해서 4차원을 얻을 수 있다. 3차원의 세계에 비선형의 다른 축 하나가 있으면 4차원의 표현이 가능하다. 분명 네 번째 차원은 무한의 개념을 갖고 있어야 한다. 시간을 이 네 번째 차원이라고 말하기엔 역부족이다. ‘높이’와 같이 획기적인 개념에 대한 가능성은 무궁무진하다.

20세기초 상대론과 양자론이 대두되고 4차원 시공체의 개념이 일대 인식의 전환을 가져온 것과 맞물려 4차원을 그려내려는 시도가 예술에 영향을 끼쳤다. 피카소를 대두로 하는 입체파의 작품들은 과학의 발전이 가져온 반향을 실감케 한다. 입체파는 두개의 전제에 근거를 두었다. 하나는 자연적 형태를 기하학적으로 단순화시키거나 세련되게 할 수 있다는 것이고 두 번째 전제는 4차원 시공체가 어떤 형태로든지 회화에서 인정돼야 하며 대상의 모든 면을 동시에 볼 수 있게 해야한다는 것이었다.

▶ 정8입체의 변형 투시한 정8입체의 사선단면들을 잘라내 잡아늘인 모습

입체파의 사물을 동시에 다양한 각도에서 보여주려는 시도는 ‘4차원 시공체’라는 새로운 개념에 대한 관심에서 나왔다. 사물을 분석, 분해해서 그 각 단면을 재구성하는 작업을 했는데 자연의 여러 형태를 기본적인 기하학적 형상(원추, 원통, 구 등)으로 환원, 사물의 존재성을 2차원으로 재구성하고자 했다. 사물을 그대로 모사하는 것이 아니라 동작의 연속적인 포착을 통해 물체를 표현하려 했다. 즉 순간의 2차원 단면을 그려내 하나의 시공체를 나타내고자 했다. 이들의 그림에는 속도감과 역동적인 움직임, 그리고 흐르는 ‘시간’이 담겨있다.

 4차원 다양체를 2차원에 그려내려는 시도들은 1970년대부터 본격적으로 시작됐고 컴퓨터 에니메이션의 발달을 가져오기도 했다.

초공간 이야기

우주가 10차원이라는 설이 과학자들에게 널리 받아들여지고 있다. 미치오 가쿠의 초공간이론에 따르면 빅뱅 이전의 우주는 10차원이었고 이후 우주가 4차원과 6차원의 세계로 나뉘어지는 대격변을 겪게 됐다고 한다. 우리가 살고 있는 4차원의 세계는 폭발적으로 팽창하는 과정을 겪고 나머지 6차원의 우주는 극한적 크기로 응축될 때까지 축소한다는 것이다. 4차원의 우주가 폭발적으로 팽창하는 데 필요한 에너지는 10차원의 우주가 붕괴되는 과정에서 나온다고 한다. 이 이론에 따르면 우리 우주는 그 크기를 측정하기 어려운 아주 작은 쌍둥이 우주형제를 가지고 있다. 만일 이 이론이 사실이라면 우주는 4차원 시공체의 차원보다 더 차원이 높으며 무한개의 평행한 우주가 존재한다.

우주 종말 시나리오 중 하나로 우주가 다시 수축, 우주 탄생의 시초로 돌아간다는 가설이 있다. 이는 2차원에서 바라본 3차원체인 구가 점이었다가 원으로 크기가 계속 늘어나다가 다시 줄어들어 수축해버리는 것과 같지 않을까 하는 재미있는 상상을 하게끔 한다. 3차원의 입장에서 바라봤을 때는 우주가 붕괴하는 파멸을 뜻할 수도 있지만 더 높은 차원에서는 단지 우주의 이동현상에 지나지 않을 수도 있다. 우주의 시초가 존재한다는 설은 우주가 팽창한다는 전제하에서만 성립한다.

이번에는 위아래 끝이 없는 원추 연결체가 평면을 통과하는 것을 상상해보자. 우리의 관점에서는 시작점을 잡을 수 없고 이 연결체의 단면은 무한히 팽창과 축소를 번갈아 한다. 우리 우주를 이 연결체에 비유해 3차원에서 바라보면 우주가 팽창과 수축을 반복한다는 이상한 상상도 해 볼 수 있지 않을까.

닫힌 우주, 열린 우주, 편평한 우주와 관련해서는 다음과 같은 상상도 가능하다. 정사면체를 평면에 통과시키면 삼각형이 그 크기를 점점 줄여 점이 되고 정사면체를 뒤집어 통과시키면 점이었던 모양이 점점 커져 삼각형의 크기가 커진다. 삼각기둥이 평면에 수직으로 통과하면 그 평면에서는 항상 삼각형으로 인식된다. 이를 놓고 볼 때 관점에 따라서는 이 세 우주가 같은 체의 일부일 수 있다는 상상도 해봄직하다. 위의 재미있는 상상들이 혹시 맞아떨어진다면 어떤 일이 벌어질까? 한 단계 높은 차원에서 벌어지는 일도 단절적이고 갑작스럽게 느껴지는데 차원이 훨씬 높은 공간에서 벌어지는 일은 기상천외할 것이다(하지만 장님 코끼리 더듬기식의 근시안에서 벗어난다면 아직 해결되지 않은 문제가 풀릴 수도 있을 것이다).

프랙탈 차원

0.63 차원이나 1.26 차원이 존재한다는데. 일반적으로 우리가 알고 있는 차원은 정수 차원이다. 점의 차원은 0차원, 선의 차원은 1차원, 면의 차원은 2차원이고 입체의 차원은 3차원이다. 이 차원들을 넘어서 4차원, 5차원,...등의 공간이 있다. 그런데 0.63 차원은 도대체 어떤 세계일까. 점도 아니고 선도 아닌 그 중간체는 어떤 것일까.

정수차원이 아닌 소수차원이 존재한다는 것은 정수에서 실수로, 실수에서 복소수로 수의 개념을 확장시켜간 것과 같이 자연스러운 것이다. 이 소수차원은 ‘프랙탈차원’으로 불린다. 프랙탈이론은 1970년대 들어 만들어진 개념으로 많은 수학자들과 물리학자들에 의해 연구되고 있다. 반면에 우리가 학교에서 배우는 수학의 대부분은 아주 오래된 것들로 원이나 사각형, 삼각형 등 도형에 관한 것들은 무려 2천년전인 기원전 3백년경 유클리드에 의해 만들어진 이론들이다.

▶ 맨델브로트 집합

프랙탈 개념을 도입한 맨델브로트(Benoit Mandelbrot, 1924~)가 제시한 집합

근래에 들어 각광받고 있는 프랙탈이란 자기 유사성을 가지는 기하학적 구조를 뜻한다. 나뭇가지들이 일정한 비율이 되는 지점에서 두 가지로 갈라진다는 규칙하에서는 가지의 어느 부분을 선택해 확대해도 전체 나무 모양과 같은 모양을 얻을 수 있다. 이러한 성질을 ‘자기 유사성’이라고 한다. 자연에서 프랙탈 구조를 갖고 있는 예들은 무수히 많다. 허파에서 동맥이 갈라져서 실핏줄을 이루는 구조나 우리 몸 속의 기관지, 뉴런, 심장구조, 고사리, 공작의 깃털무늬, 구름과 산, 해안선의 형태, 은하 구조 등 자연과 우주에서 발견되는 많은 사물들이 프랙탈의 예에 속한다. 프랙탈이 만들어내는 형상은 실로 환상적이다.

자연에는 규칙적인 것보다는 불규칙적인 것이 대부분이다. 프랙탈은 은하계부터 미세 원자세계에 이르기까지 우주의 모습을 총체적으로 표현할 수 있는 도구로 여겨진다. 이러한 프랙탈 구조는 자연이 가지는 기본적인 속성이다. 프랙탈이론에 따르면 자연에서 흔히 발견되는 무질서한 운동도 잘 정의된 방정식으로 나타낼 수 있고 그 안에서의 질서를 찾아낼 수 있다. 자기유사성은 단순한 확대나 축소가 아니라 전체를 바라보는 새로운 ‘눈’을 제시하는 것이다.

주어진 해안선의 길이를 막대자를 가지고 잰다고 상상해 보자. 길이가 1m인 자를 이어가면서 해안선의 길이를 잰 것과 길이가 50cm인 자를 이으면서 길이를 잰 결과는 후자쪽이 더 길다. 또 길이가 25cm인 자로 재는 경우 50cm 막대자로 잴 때보다 해안선의 길이가 길게 나온다. 해안선의 길이는 재는 자의 길이가 짧아질수록 지수함수적으로 늘어난다. 자의 길이가 줄어듦에 따라 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 된다.

자의 축척 변화비율에 따라 해안선의 길이가 지수함수적으로 변하는 성질로부터 정량적 수치를 얻어낼 수 있다. 이 수치로 해안선의 불규칙도를 알 수 있는데 이것이 프랙탈 차원이다. 다른 자를 가지고 길이를 잴 경우 길이가 달라지는 것과는 관계없이 프랙탈 차원은 변함이 없다.

몇가지 프랙탈의 예를 살펴보기 전에 프랙탈 차원을 구하는 방법을 보자.

1차원 선분은 이등분하면 2개의 선분으로 분할되고 2차원 정사각형은 각각의 선분을 이등분하면 4개의 정사각형으로 쪼개진다. 3차원 정육면체를 각각의 선분을 이등분하면 8개의 정육면체가 생긴다. 직선, 평면, 입체를 ½의 비율의 닮은 꼴로 나누었을 때 나뉘어지는 조각의 개수 N은 다음과 같다. 1차원일 경우 N=2=2의1승 개, 2차원의 경우 N=4=2의2승 개, 3차원의 경우는 N=8=2의3승 개이다. 따라서 D차원의 입방체를 ½의 비율로 나누는 경우 만들어지는 조각의 개수는 N=2의D승 이 된다. 이를 D차원의 입방체를 비율 1/r의 닮은 꼴로 분할하는 경우로 확장시키면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다. 분할 후 만들어지는 조각의 개수가 N일 때 r, D, N 세 변수의 관계는 N=r의D승 이다. 여기서 얻어지는 D= (log의N승)/(log의r승) 가 프랙탈 차원이다.

칸토어 집합 (Cantor set)

프랙탈 차원의 쉬운 예로 칸토어 집합을 알아보자. 그림과 같이 길이가 1인 선분을 3등분해 중앙의 ⅓을 잘라낸다. 남은 각각의 부분을 다시 3등분해 그 중앙의 ⅓들을 잘라내는 일을 무한히 계속해서 얻어낸 집합이 칸토어 집합이다. 무한등비급수를 이용해 잘라 낸 길이의 총합을 구하면 1이므로 나머지 길이인 칸토어 집합의 길이는 0이 된다. 직관적으로 생각해도 칸토어 집합은 무수히 많은 점들의 집합체다. 칸토어 집합의 프랙탈 차원을 계산하면 r=3, N=2이므로 D=(log의2승)/(log의3승)=0.6309 차원이 된다. 점과 선의 차원의 사이인 셈이다. 차원이 1보다 작은 0.63 차원이기 때문에 길이는 갖지 못한다. 길이가 0이 되는 점들의 집합체이므로 언뜻 보기엔 0차원으로 생각되는데 흥미롭게도 소수의 차원을 만들어내는 것이다. 곰곰히 생각해보면 칸토어 집합과 단순한 점들의 집합체는 서로 다를 것이라는 것은 당연하다.

 

Good Actual Conditio...